Question

11．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（a∈R）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a=2时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间；
（2）a=2时，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$ （x＞0）（2分）
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
②当a＞0时，在区间（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
在区间（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．（5分）
综上可知：当a≤0时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
当a＞0时，在区间（0，a）上，f（x）单调递减；
在区间（a，+∞）上，f（x）单调递增．（7分）
（2）当a=2时，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，得x=2

x	1	（1，2）	2	（2，e）	e
f′（x）	-1	-	0	+	$\frac{e-2}{{e}^{2}}$
f（x）	2	减	极小值	增	1+$\frac{2}{e}$

f（x）_min=f（2）=ln2-1，f（x）_max=f（1）=2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．