Question

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1．
（1）求证：面SAB⊥面SBC；
（2）求SC与底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明SA⊥BC利用AB⊥BC，即可证明BC⊥面SAB，利用平面与平面垂直的判定定理证明面SAB⊥面SBC．
（2）连结AC，说明∠SCA就是SC与底面ABCD所成的角，在直角三角形SCA中，求解即可．

解答： （1）证明：∵SA⊥面ABCD，BC?面ABCD，
∴SA⊥BC
又∵AB⊥BC，SA∩AB=A，∴BC⊥面SAB，
∵BC?面SAB，
∴面SAB⊥面SBC…（6分）
（2）解：已知SA⊥面ABCD，连结AC，
则∠SCA就是SC与底面ABCD所成的角，在直角三角形SCA中，SA=2，AC=

22+22

=2

2

，tan∠SCA=

SA

AC

=

2

2 2

=

2

2

…（12分）

点评：本题考查直线与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．