Question

9．已知函数f（x）=$\frac{ax-1}{{{x^2}+2}}$（x∈R），当x=2时f（x）取得极值．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若关于x的方程f（x）-2m+1=0在x∈[-2，1]时有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用当x=2时f（x）取得极值，建立方程，即可求a的值；
（2）由导数的正负，即可求f（x）的单调区间；
（3）当x∈[-2，1]时，f_min（x）=-1，${f_{max}}（x）=\frac{1}{3}$，依题意$-1≤2m-1≤\frac{1}{3}$，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）${f^/}（x）=\frac{{-a{x^2}+2x+2a}}{{{{（{x^2}+2）}^2}}}$．
∵当x=2时f（x）取得极值，
∴f′（2）=0，∴a=2；
（2）${f^/}（x）=-\frac{2（x-2）（x+1）}{{{{（{x^2}+2）}^2}}}$，由f′（x）＞0得-1＜x＜2；由f′（x）＜0得x＜-1或x＞2，
所以函数f（x）的增区间是（-1，2），减区间是（-∞，-1），（2，+∞）
（3）由（2）知函数f（x）在[-2，-1）单减，在（-1，1]单增．
当x∈[-2，1]时，f_min（x）=-1，${f_{max}}（x）=\frac{1}{3}$，
依题意$-1≤2m-1≤\frac{1}{3}$，所以$0≤m≤\frac{2}{3}$

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值、单调性，考查函数的最值，正确转化是关键．