Question

7．如图所示，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的切线，切点为A，∠DAC的平分线交⊙O于E，且满足AB⊥AE．
（I）证明：∠BAC=∠BCA；
（Ⅱ）设⊙O的半径为1，AC=$\sqrt{3}$，CE的延长线交AD于点F，求△AFC外接圆的面积．

Answer 1

分析 （I）连接BE，AO，设BE与AC交于H，由题意可得BE为直径，运用弦切角定理和角平分线的定义，可得∠BAC=∠BCA；
（Ⅱ）由正弦定理求得∠ABC=60°，进而得到ABC为等边三角形，可得BC∥AD，可得AC为△ACF的外接圆的直径，可得半径和圆的面积．

解答 解：（I）证明：连接BE，AO，设BE与AC交于H，
AB⊥AE，可得BE为直径，经过点O，
可得∠BCE=90°，
由弦切角定理，可得∠FAE=∠ACE，
由AE为角平分线，可得∠FAE=∠CAE，
即∠CAE=∠ACE，
由∠BAC+∠CAE=∠ACE+∠BCA=90°，
可得∠BAC=∠BCA；
（Ⅱ）⊙O的半径为r=1，AC=$\sqrt{3}$，
由正弦定理可得sin∠ABC=$\frac{AC}{2r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得∠ABC=60°，
由（Ⅰ）可得△ABC为等边三角形，
AO⊥BC，又AO⊥AD，
可得BC∥AD，
由∠BCE=90°，可得CF⊥AD，
△AFC外接圆的直径为AC，
半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，面积为$\frac{3}{4}$π．

点评 本题考查圆的弦切角定理、圆的直径所对的圆周角为直角、正弦定理的运用，考查推理能力和运算能力，属于中档题．