Question

18．如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC相交于点D，AE=2BD=2．
（1）求证：EA=ED；
（2）求DC•BE的值．

Answer 1

分析 （1）由圆的弦切角定理和内角平分线的性质，可得∠DAE=∠ADE，即可得证；
（2）由对应角相等，可得△ABE∽△CAE，由相似三角形的性质和内角平分线定理，可得DB•DE=DC•BE，代入计算即可得到所求值．

解答 解：（1）证明：∠ADE=∠ABD+∠BAD，∠DAE=∠DAC+∠EAC，
由AE为△ABC的外接圆的切线，
由弦切角定理可得∠ABD=∠EAC，①
由AD为∠BAC的平分线，
可得∠BAD=∠DAC，②
①②相加可得∠DAE=∠ADE，
则EA=ED．                                                 
（2）∵$\left\{\begin{array}{l}∠ABE=∠CAE，\;\;\\∠AEB=∠CEA，\;\;\end{array}\right.$
∴△ABE∽△CAE，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{AE}$，
又∵$\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}$，∴$\frac{DB}{DC}=\frac{BE}{AE}$，
即DB•AE=DC•BE，
由（1）知EA=ED，∴DB•DE=DC•BE．
根据已知条件AE=2BD=2．
可得BD=1，EA=ED=2，
所以DB•DE=DC•BE=2．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质，考查圆的弦切角定理、三角形的内角平分线定理的运用，考查运算能力，属于中档题．