题目内容

12．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）-k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）-k=0有三个相异实根，现给出下列命题：
①f（x）-4=0和f′（x）=0有一个相同的实根    
②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根
③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）-1=0的任一实根 
④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）-2=0的任一实根．
其中错误的命题的个数是（　　）
A．4B．3C．2D．1

分析 由已知中f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）-k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）-k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，分析出函数简单的图象和性质后，逐一分析四个结论的正误，即可得到答案．

解答 解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，
当k＜0或k＞4时，f（x）-k=0只有一个实根；
当0＜k＜4时，f（x）-k=0有三个相异实根，
故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0
故f（x）-4=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极大值点，故（1）正确；
f（x）=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确；
f（x）+3=0有一实根小于函数最小的零点，f（x）-1=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（3）错误；
f（x）+3=0有一实根小于函数最小的零点，f（x）-2=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）错误；
故选：D．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知条件，判断出函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象和性质是解答本题的关键．

练习册系列答案
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A．（1，2）B．（2，$\root{3}{12}$）C．（1，$\root{3}{4}$）D．（2，$\root{3}{10}$）

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