Question

19．求证：sinx＞x-$\frac{x^3}{6}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$）．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=sinx-x+$\frac{x^3}{6}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$）．证明f（x）=sinx-x+$\frac{x^3}{6}$是单增函数，即可证明结论．

解答 解：令f（x）=sinx-x+$\frac{x^3}{6}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$）．f（0）=0．--（2分）
f′（x）=cosx-1+$\frac{1}{2}{x}^{2}$，f″（x）=-sinx+x．--（4分）
由三角不等式sinx＜x，x∈（0，$\frac{π}{2}$），f″（x）＞0．--（6分）
所以f′（x）是单调递增的，又f′（0）=0，
所以f′（x）＞0恒成立，
所以f（x）=sinx-x+$\frac{x^3}{6}$是单增函数，
所以f（x）＞f（0）=0--（8分）
即：sinx＞x-$\frac{x^3}{6}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$）．--（10分）

点评 本题考查利用导数证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，正确构造函数，确定函数的单调性是关键．