Question

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若点E在线段PC上，且PC=3PE，求三棱锥P-BDE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用勾股定理证明CB⊥BD，由线面垂直的性质证出CB⊥PD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；
（Ⅱ）利用转换底面的方法，可求三棱锥E-BCD的体积．

解答： （Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD=1，∴BD=

2

，BC²=（CD-AB）²+AD²=2，
在△CBD中，由勾股定理的逆定理知，△CBD是直角三角形，且CB⊥BD，…（2分）
又PD⊥底面ABCD，∴CB⊥PD，…（4分）
∵PD⊥BC，BC⊥BD，BD∩PD=D，∴BC⊥平面PBD．…（6分）
（Ⅱ）解：S△PDC=

1

2

×2×1=1，…（8分）
∵PC=3PE，∴S△PDE=

1

3

S△PDC=

1

3

，…（10分）
∴VP-BDE=VB-PDE=

1

3

×AD×S△PDE=

1

9

．…（12分）

点评：本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．