Question

11．若$\overrightarrow{OP}$=（1，2x），$\overrightarrow{OQ}$=（2，x+1），当|$\overrightarrow{PQ}$|取最小值时．以0、P、Q、A四点构成平行四形．
（1）求$\overrightarrow{OA}$；
（2）求所有符合题意的点A所构成的三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）利用向量的模求出最小值时的x值，然后求出A的坐标．
（2）求出A的坐标，画出图形，求解三角形的面积即可．

解答 解：由题意$\overrightarrow{OP}$=（1，2x），$\overrightarrow{OQ}$=（2，x+1），
可得，$\overrightarrow{PQ}$=（1，1-x），∴$\left|\overrightarrow{PQ}\right|$=$\sqrt{1+（{1-x）}^{2}}$，当x=1时，距离最小，
此时P（1，2），Q（2，2），∵0、P、Q、A四点构成平行四形，
∴$\overrightarrow{OA}$=（3，4），（1，0）（-1，0）．
（2）如图：所有符合题意的点A所构成的三角形的面积：S=$\frac{1}{2}$×2×4=4．

点评 本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力．