Question

19．已知函数f（x）=log₂$\sqrt{x}$•log${\;}_{\sqrt{2}}$（2x），则f（x）的定义域为（0，+∞），当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）有最小值$-\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 要求函数的定义域，必使真数大于零；再对函数进行化简，得到f（x）=（log₂x+$\frac{1}{2}$）²$-\frac{1}{4}$，即可得到所求值．

解答 解：要使函数有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}＞0}\\{x≥0}\\{2x＞0}\end{array}\right.$，得x＞0
所以函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由于函数f（x）=log₂$\sqrt{x}$•log${\;}_{\sqrt{2}}$（2x）
=$\frac{1}{2}$log₂x•$\frac{1}{\frac{1}{2}}$（log₂2+log₂x）
=（log₂x）²+log₂x=（log₂x+$\frac{1}{2}$）²$-\frac{1}{4}$，
则当log₂x+$\frac{1}{2}$=0，即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）有最小值$-\frac{1}{4}$．

点评 本题考查的知识点是函数的定义域与最值，二次函数的图象和性质，不等式的解法，属于基础题．