Question

16．若f（x）是定义在R上的函数，对任意的实数x都有：f（x+6）≤f（x+2）+4和f（x+4）≥f（x+2）+2，且f（1）=1，则f（2017）=2017．

Answer 1

分析 根据f（x+6）≤f（x+2）+4和f（x+4）≥f（x+2）+2，化简出f（x）的关系式，根据f（1）=1，利用赋值法求解，求出周期，即可计算f（2017）的值．

解答 解：对任意的实数x都有：f（x+6）≤f（x+2）+4和f（x+4）≥f（x+2）+2…①，
令x=x-2，则f（x+6）≤f（x+2）+4转化为f（x+4）≤f（x）+4…②．
则f（x+4）≥f（x+2）+2转化为f（x+2）≥f（x）+2…③，
不等式的性质，由①②可得：f（x+2）≤f（x）+2…④．．
由③④可得：f（x+2）=f（x）+2．
∵f（1）=1，
∴f（2017）=f（2017-2）+2=f（2017-2×1008）+2×1008=f（1）+2016=2017．
故答案为：2017．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性，进行转化是解决本题的关键．