Question

如图①，直线l交x轴、y轴分别于A、B两点，A（a，0）B（0，b），且（a-b）²+|b-4|=0

（1）求A、B两点坐标．
（2）C为线段AB上一点，C点的横坐标是3，P是y轴正半轴上一点，且满足∠OCP=45°，求P点坐标．
（3）在（2）的条件下，过B作BD⊥OC，交OC、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠CEA=∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：（1）根据（a-b）²+|b-4|=0，即可求出a=b=4，即可求A、B两点坐标．
（2）求出C的坐标，根据余弦定理即可，求P点坐标．
（3）根据三角形的全等关系证明三角形BFO与三角形BFC全等，即可．

解答： 解：（1）∵（a-b）²+|b-4|=0，
∴a-b=0且b-4=0，即a=b=4，
则A（4，0），B（0，4）．
（2）直线AB的方程为

x

4

+

y

4

=1，即x+y=4，
当x=3时，y=1，即C（3，1）．
∵P是y轴正半轴上一点，
∴P（0，m），m＞0，
则OC=

10

，CP=

9+(m-1)2

，OP=m，
由余弦定理得cos45°=

OC2+CP2-OP2

2OC•CP

=

10+9+(m-1)2-m2

2× 10 × 9+(m-1)2

=

2

2

，
平方整理得2m²+5m-25=0，
解得m=-5（舍）或m=

5

2

，即P（0，

5

2

）
（3）OD=AE；理由如下：连接DC
∵BD垂直于OC
∴∠BFO=∠BFC
又∵C点的纵坐标为3，∠CAD=45°
∴CA=3

2

，BC=﹙4

2

﹚²-﹙3

2

﹚²=4=BO
∴三角形BFO与三角形BFC全等，
∴BD是OC的垂直平分线
∴OD=FC
同理可证明OD=DC=3

2

，
∵∠CEA=∠BDO，
∴∠ECA=∠CEA
∴EA=CA=OD=3

2

，
∴OD=AE

点评：本题主要考查直线方程的求解以及三角形全等的应用，综合考查直线的综合应用．