Question

已知点P是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上的动点，F₁，F₂是左、右焦点．点Q满足

PQ

与

F1P

是方向相同的向量，且|

PQ

|=|

PF2

|．
（1）求点Q的轨迹C的方程；
（2）是否存在斜率为1的直线l，使直线l与曲线C的两个交点A、B满足AF₂⊥BF₂？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用F₁，F₂是左、右焦点．点Q满足

PQ

与

F1P

是方向相同的向量，且|

PQ

|=|

PF2

|，可得|QF₁|=2a=4，即可得到圆C的方程；
（2）设斜率为1的直线方程为x-y+a=0，圆C与直线x-y+a=0的交点于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．将直线与圆C方程消去y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理结合AF₂⊥BF₂建立关于x₁、x₂、a的方程组，解出a即可得到存在斜率为1的直线满足题中的条件．

解答： 解：（1）∵F₁，F₂是左、右焦点．点Q满足

PQ

与

F1P

是方向相同的向量，且|

PQ

|=|

PF2

|．
∴|QF₁|=2a=4，
∵F₁（-1，0），
∴点Q的轨迹C的方程是（x+1）²+y²=16；
（2）设斜率为1的直线方程为x-y+a=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与圆方程联立消去y，得方程2x²+（2a+2）x+a²-15=0，
∴△=124+8a-4a²＞0．
利用根与系数的关系，得到x₁+x₂=-1-a，x₁x₂=

1

2

（a²-15）①，
若AF₂⊥BF₂，则可得1-（x₁+x₂）+x₁x₂+y_1^y2=0，
结合y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，代入可得1+2x₁x₂+（-1+a）（x₁+x₂）+a²=0②
由①②联解可得a=±

13

，此时△=124+8a-4a²＞0．
∴a=±

13

，
∴存在斜率为1的直线x-y±

13

=0，使其与圆C交于A、B两点满足AF₂⊥BF₂．

点评：本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法和函数方程思想，以及直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查解析几何中垂直问题的一般解题思路，属于中档题．