Question

若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA⊥平面ABC，SA=2

3

，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：由三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2

3

，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=

3

，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r=

1

2

AC=1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．

解答： 解：如图，三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，
∵SA⊥平面ABC，SA=2

3

，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
∴BC=

1+4-2×1×2×cos60°

=

3

，
∴∠ABC=90°．
∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=

1

2

AC=1，
∴球O的半径R=

12+( 2 3 2 )2

=2，
∴球O的表面积S=4πR²=16π．
故答案为：16π．

点评：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题的关键．