Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁＝3，公差d≠0，其前n项和为S_n，且a₁，a₄，a₁₃分别是等比数列{b_n}的第2项，第3项，第4项．

(1)求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；

(2)证明：

Answer 1

解：(1)设等比数列{b_n}的公比为q.

∵a₁，a₄，a₁₃分别是等比数列{b_n}的b₂，b₃，b₄.且a₁＝3

∴(a₁＋3d)²＝a₁(a₁＋12d)

即(3＋3d)²＝3·(3＋12d)，∴9d²＋18d＋9＝9＋36d

整理得：d＝2或d＝0(舍)，∴a_n＝3＋2(n－1)＝2n＋1

q＝＝＝＝3，b₁＝＝＝＝1，∴b_n＝3^n－1

(2)证明：由(1)知：

S_n＝n·a₁＋·d＝3n＋n²－n＝n²＋2n