Question

14．平面内的向量$\overrightarrow{a}$=（3，2），$\overrightarrow{b}$=（-1，2），$\overrightarrow{c}$=（4，1）．
（1）若（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）⊥（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），求实数k的值；
（2）若向量$\overrightarrow{d}$满足$\overrightarrow{d}$∥$\overrightarrow{c}$，且|$\overrightarrow{d}$|=$\sqrt{34}$，求向量$\overrightarrow{d}$的坐标．

Answer 1

分析 （1）由（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）⊥（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），可得（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）•（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=0，解得k．
（2）设$\overrightarrow{d}$=（x，y），由$\overrightarrow{d}$∥$\overrightarrow{c}$，且|$\overrightarrow{d}$|=$\sqrt{34}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x-4y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=34}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$=（3+4k，2+k），
2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$=（-5，2），∵（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）⊥（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），∴（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）•（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=（3+4k）×（-5）+（2+k）×2=0，解得k=-$\frac{11}{18}$．
（2）设$\overrightarrow{d}$=（x，y），∵$\overrightarrow{d}$∥$\overrightarrow{c}$，且|$\overrightarrow{d}$|=$\sqrt{34}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x-4y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=34}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4\sqrt{2}}\\{y=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4\sqrt{2}}\\{y=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴向量$\overrightarrow{d}$的坐标为$（4\sqrt{2}，\sqrt{2}）$，或$（-4\sqrt{2}，-\sqrt{2}）$．

点评 本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、向量相等、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．