Question

13．函数y=$\frac{cosx}{2-sinx}$的值域是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

Answer 1

分析 先将y=$\frac{cosx}{2-sinx}$化成cosx-ysinx=2y，再利用三角函数的和角公式化成：$\sqrt{1+{y}^{2}}$cos（x+θ）=2y，最后利用三角函数的有界性即可求得值域．

解答 解：∵y=$\frac{cosx}{2-sinx}$，
∴ysinx-2y=cosx，
∴cosx-ysinx=2y，
即：$\sqrt{1+{y}^{2}}$cos（x+θ）=2y，
∵-$\sqrt{1+{y}^{2}}$≤$\sqrt{1+{y}^{2}}$cos（x+θ）≤$\sqrt{1+{y}^{2}}$，
∴-$\sqrt{1+{y}^{2}}$≤2y≤$\sqrt{1+{y}^{2}}$，
解得：y∈[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．
故答案为：$[-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}]$．

点评 本题以三角函数为载体考查分式函数的值域，属于求三角函数的最值问题，属于中档题．