Question

12．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ADE⊥平面ABCD，DE⊥AD，BF∥DE，DE=BF=1，M为BC的中点．
（I）求异面直线AE与MF所成的角的余弦值；
（Ⅱ）在线段AF上是否存在一点N，使平面DMN与平面ABCD所成的角的余弦值为$\frac{3\sqrt{14}}{14}$？若存在，请确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）根据条件判断DA，DC，DE两两垂直，建立空间坐标系，求出线段对应的向量，利用向量法即可求异面直线AE与MF所成的角的余弦值；
（Ⅱ）假设存在N，求出平面的法向量，利用二面角的余弦值建立方程关系进行求解即可．

解答 解：（I）∵平面ADE⊥平面ABCD，DE⊥AD，
∴DE⊥平面ABCD，
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴DA，DC，DE两两垂直，
以点D为原点，以DA所在的直线为x轴、以DC所在的直线为y轴、以DE所在的直线为z轴，
建立空间坐标系．则有题意可得 D（0，0，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、E（0，0，1）、
F（1，1，1）、M（$\frac{1}{2}$，1，0）．
∴$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{MF}$=（$\frac{1}{2}$，0，1），
cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{MF}$＞=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{MF}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{MF}|}$=$\frac{-\frac{1}{2}+1}{\sqrt{2}•\sqrt{\frac{1}{4}+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}•\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
故异面直线AE与MF所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（Ⅱ）假设在线段AF上存在点N，使得使平面DMN与平面ABCD所成的角的余弦值为$\frac{3\sqrt{14}}{14}$．
∵$\overrightarrow{AF}$=（0，1，1），
可设$\overrightarrow{AN}$=λ•$\overrightarrow{AF}$=（0，λ，λ）．0≤λ≤1，
又$\overrightarrow{DM}$=（$\frac{1}{2}$，1，0），$\overrightarrow{DN}$=$\overrightarrow{DA}$+$\overrightarrow{AN}$=（1，λ，λ），
设平面DMN的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DN}=x+λy+λz=0}\end{array}\right.$，
令x=2，则y=-1，z=$\frac{λ-2}{λ}$，即$\overrightarrow{m}$=（2，-1，$\frac{λ-2}{λ}$），
平面ABCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
由|cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$|=|$\frac{\frac{λ-2}{λ}}{\sqrt{4+1+（\frac{λ-2}{λ}）^{2}}}$|=$\frac{3\sqrt{14}}{14}$，
平方得$\frac{（\frac{λ-2}{λ}）^{2}}{5+（\frac{λ-2}{λ}）^{2}}$=$\frac{9×14}{1{4}^{2}}$=$\frac{9}{14}$．
即14（$\frac{λ-2}{λ}$）²=45+9（$\frac{λ-2}{λ}$）²，
即5（$\frac{λ-2}{λ}$）²=45，
则（$\frac{λ-2}{λ}$）²=9，
即1-$\frac{2}{λ}$=3或1-$\frac{2}{λ}$=-3，
得$\frac{2}{λ}$=-2或$\frac{2}{λ}$=4，
则λ=-1（舍）或λ=$\frac{1}{2}$，
此时N为AF的中点，
即线段AF上是存在中点N，使平面DMN与平面ABCD所成的角的余弦值为$\frac{3\sqrt{14}}{14}$．

点评 本题考查异面直线所成的角以及二面角的应用，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决空间角常用的方法，解题时要注意向量法的合理运用．