Question

16．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosθ}\\{y=1+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$=0．
（1）求曲线C₁的极坐标方程以及曲线C₂的直角坐标方程；
（2）求曲线C₁上的点到曲线C₂的距离的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的互化方法求曲线C₁的极坐标方程以及曲线C₂的直角坐标方程；
（2）求出圆C₁的圆心到直线C₂的距离d₀=$\frac{|1+1+2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，即可求曲线C₁上的点到曲线C₂的距离的取值范围．

解答 解：（1）曲线C₁化为普通方程为（x-1）²+（y-1）²=2
展开后得x²-2x+y²-2y=0
再由x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得极坐标方程为ρ=2sinθ+2cosθ…（2分）
曲线C₂展开得$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ+$\sqrt{2}$=0，
又x=x=ρcosθ，y=ρsinθ，得直角坐标方程为x+y+2=0…（5分）
（2）由（1）知曲线C₁的直角坐标方程为（x-1）²+（y-1）²=2，是以（1，1）为圆心，1为半径的圆，曲线C₂是一条直线
圆C₁的圆心到直线C₂的距离d₀=$\frac{|1+1+2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$…（8分）
故曲线C₁上的点到C₁的距离d的取值范围是[$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$]…（10分）

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．