Question

8．已知二次函数f（x）同时满足；①f（x+1）-f（x）=2x；②x∈R，恒有f（x）≥x²-x+1成立；③当x≥0时，f（x）≤2^x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），进一步利用条件求的解析式．
（2）分离参数，得到m＜x²-3x+1，根据函数的单调性求出函数最值即可．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（x+1）-f（x）=2x
a（x+1）²+b（x+1）+c-ax²-bx-c=2x
解得：a=1  b=-1，
∵x∈R，恒有f（x）≥x²-x+1成立，
∴x²-x+c≥x²-x+1，
∴c≥1，
∵当x≥0时，f（x）≤2^x．
∴c≤1，
∴c=1
∴f（x）=x²-x+1；
（2）当x∈[-1，1]时，不等式f（x）＞2x+m恒成立，
∴m＜x²-3x+1，
∵y=x²-3x+1的对称轴为x=$\frac{3}{2}$，
∴y=x²-3x+1在[-1，1]上单调递减，
∴y_min=1-3+1=-1，
∴m＜-1．

点评 本题考查二次函数的性质的综合应用，考查函数解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数恒成立条件的灵活运用．