Question

7．已知空间四个点A（1，1，1），B（-4，0，2），C（-3，-1，0），D（-1，0，4），则直线AD与平面ABC所成的角为30°．

Answer 1

分析 由已知求出$\overrightarrow{AD}$和平面ABC的法向量，利用向量法能求出直线AD与平面ABC所成的角的大小．

解答 解：∵空间四个点A（1，1，1），B（-4，0，2），C（-3，-1，0），D（-1，0，4），
∴$\overrightarrow{AD}$=（-2，-1，3），$\overrightarrow{AB}$=（-5，-1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-4，-2，-1），
设平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-5x-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-4x-2y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-3，2），
设直线AD与平面ABC所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2+3+6|}{\sqrt{4+1+9}•\sqrt{1+9+4}}$=$\frac{7}{14}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=30°．
∴直线AD与平面ABC所成的角为30°．
故答案为：30°．

点评 本题考查线面角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．