Question

如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且AD=2PA，E，F，G，H分别是线段PA，PD，CD，BC的中点．
（Ⅰ）求证：平面FDH⊥平面AEG；
（Ⅱ）求三棱锥E-AFG与四棱锥P-ABCD的体积比．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得AE⊥DH，DH⊥AG，从而DH⊥平面AEG，由此能证明平面FDH⊥平面AEG．
（Ⅱ）

VE-AFG

VP-ABCD

=

VG-AEF

VP-ABCD

，由此能求出结果．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DH，即AE⊥DH，
∵△ADG≌△DCH，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°．
∴∠AGD+∠HDC=90°．∴DH⊥AG．
又∵AE∩AG=A，∴DH⊥平面AEG
又∵DH?平面DHF，∴平面FDH⊥平面AEG．…（6分）
（Ⅱ）解：

VE-AFG

VP-ABCD

=

VG-AEF

VP-ABCD

=

1 3 ×DG×S△AEF

1 3 ×PA×S四边形ABCD

…（9分）
=

1 2 ×CD× 1 2 ×EF×EA

PA×AD×CD

=

1 2 CD× 1 2 × 1 2 ×AD× 1 2 ×PA

PA×AD×CD

=

1

16

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查两个几何体的体积之比的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．