题目内容

设F1、F2是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的两个焦点，点P为椭圆上任意一点，求
PF
2
1
PF
2
2
的最大值．
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：由已知条件结合椭圆性质，推导出PF1=x，则PF2=2a-x=4-x，（1≤x≤3），从而得到
PF
2
1
PF
2
2
=
x2
(4-x)2
，由此利用二次函数的性质能求出
PF
2
1
PF
2
2
的最大值．
解答： 解：∵F1、F2是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的两个焦点，点P为椭圆上任意一点，
∴a=2，b=
3
，c=1，
设PF1=x，则PF2=2a-x=4-x，（1≤x≤3），
∴
PF
2
1
PF
2
2
=
x2
(4-x)2
=(
1
4
x
-1
)2，
∵1≤x≤3，∴
4
3
≤
4
x
≤4，
1
3
≤
4
x
-1≤3，
1
4
x
-1
∈[
1
3
，3]
∴
PF
2
1
PF
2
2
=
x2
(4-x)2
∈[
1
9
，9]．
∴
PF
2
1
PF
2
2
的最大值是9．
点评：本题考查椭圆的性质的应用，是中档题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质，要注意二次函数性质的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
不等式|x+1|+|x-2|≤5的解集为
 
．
已知函数F（x）=ex满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若?x∈[1，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A、(-∞，2
2
)
B、(-∞，2
2
]
C、(0，2
2
]
D、(2
2
，+∞)
已知集合A，B，C，A={直线}，B={平面}，C=A∪B，若a∈A，b∈B，c∈C，给出下列命题：
①
a∥b
c∥b
⇒a∥c；
②
a⊥b
c⊥b
⇒a∥c；
③
a⊥b
c∥b
⇒a⊥c．
其中正确的命题的个数是（　　）
A、0B、1C、2D、3
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个顶点为A（a，0）、B（0，b），右焦点为F，且F到直线AB的距离等于F到原点的距离，求椭圆离心率的取值范围．
对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；
    第一组：f1（x）=x+1，f2（x）=2x，h（x）=5x+1；
    第二组：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1；
（2）设f1（x）=2x，f2（x）=（
1
2
）x，a=1，b=-1，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[1，2]上有解，求实数t的取值范围；
（3）设f1（x）=x，f2（x）=
1
x
（1≤x≤10），取a=1，b＞0，生成函数h（x）使h（x）≥b恒成立，求b的取值范围．
已知函数f（x）=-x2+8x，g（x）=x-ln（x+1）
（Ⅰ）求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）；
（Ⅱ）是否存在实数k，对任意的x∈[0，+∞），不等式g（x）≤8kx-kf（x）恒成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=
2
3
，且bn=（-1）n-1anan+1，求数列{bn}的前n项和Sn．
已知复数：z=
2i
1+i
，则z的值为
 
．

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