Question

已知f（x）=x+

1

|x|

．
（1）指出的f（x）值域；
（2）求函数f（x）对任意x∈[-2，-1]，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．
（3）若对任意正数a，在区间[1，a+

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a

]内存在k+1个实数a₁，a₂，…，a_k+1使得不等式f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_k）＜f（a_k+1）成立，求k的最大值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的值域

专题：综合题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）分x＞0和x＜0写出分段函数，分段求出值域后取并集得答案；
（2）由导数判断出f（x）=x-

1

x

在[-2，-1]上为增函数，然后分m＞0和m＜0两种情况代入
f（mx）+mf（x），把f（mx）+mf（x）＜0转化为含参数m的不等式恒成立，m＞0时分离参数m，求出函数的最值，则m的范围可求，m＜0时，不等式不成立，从而得到实数m的取值范围；
（3）取正数a=

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，在区间[1，a+

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a

]内存在k+1个实数a₁，a₂，…，a_k+1使得不等式
f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_k）＜f（a_k+1）成立，可考虑在其子集[1，2

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]内成立，由函数是增函数得到k个不等式f（1）≤f（a_i）（i=1，2，…，k），作和后结合已知转化为关于k的不等式，则k的最大值可求．

解答： 解：（1）当x＞0时，f（x）=x+

1

|x|

=x+

1

x

≥2；
当x＜0时，f（x）=x+

1

|x|

=x-

1

x

∈R．
∴函数f（x）的值域为R；
（2）由题意知，m≠0，
当x∈[-2，-1]，函数f（x）=x-

1

x

，f′(x)=1+

1

x2

＞0，
∴f（x）=x-

1

x

在[-2，-1]上为增函数，
①当m＞0时，由x∈[-2，-1]，得f（mx）+mf（x）=mx-

1

mx

+mx-

m

x

=2mx-

m2+1

mx

＜0恒成立，
即2m²x²-m²-1＞0恒成立，由于x∈[-2，-1]时，2x²-1＞0，也就是m2＞

1

2x2-1

恒成立，
而

1

2x2-1

在[-2，-1]上的最大值为1，因此，m＞1．
②当m＜0时，mx+

1

mx

+mx-

m

x

=2mx+

1-m2

mx

＜0，即2m²x²-m²+1＜0．
由于x∈[-2，-1]时，2x²-1＞0，不等式左边恒正，该式不成立．
综上所述，m＞1；
（3）取a=

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，则在区间[1，2

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]内存在k+1个符合要求的实数．
注意到[1，2

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]⊆[1，a+

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a

]．
故只需考虑在[1，2

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]上存在符合要求的k+1个实数a₁，a₂，…，a_k+1，
函数f（x）=x+

1

x

在[1，2

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]上为增函数，∴f（1）≤f（a_i）（i=1，2，…，k），
f(ak+1)≤f(2

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)，将前k个不等式相加得，kf(1)≤f(a1)+f(a2)+…+f(ak)＜f(ak+1)≤f(2

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)，
得k＜

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+

1

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＜45，∴k≤44．
当k=44时，取a₁=a₂=…=a₄₄=1，a45=2

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，则题中不等式成立．
故k的最大值为44．

点评：本题考查了函数的值域，考查了函数恒成立问题，训练了分离变量法和数学转化思想方法，特别对于（3）的处理，体现了特值化思想在解题中的应用，是难度较大的题目．