题目内容
7．某次运动会的游泳比赛中，已知5名游泳运动员中有1名运动员服用过兴奋剂，需要通过检验尿液来确定因服用过兴奋剂而违规的运动员，尿液检验结果呈阳性的即为服用过兴奋剂的运动员，呈阴性则没有服用过兴奋剂，组委会提供两种检验方法：方案A：逐个检验，直到能确定服用过兴奋剂的运动员为止．
方案B：先任选3名运动员，将他们的尿液混在一起检验，若结果呈阳性则表明违规的运动员是这3名运动员中的1名，然后再逐个检验，直到能确定为止；若结果呈阴性则在另外2名运动员中任选1名检验．
（Ⅰ）求依方案A所需检验次数不少于依方案B所需检验次数的概率；
（Ⅱ）ξ表示依方案B所需检验次数，求ξ的数学期望．
分析 （1）由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．
（2）根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果．
解答 解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：
①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：$\frac{{∁}_{4}^{2}{A}_{3}^{3}}{{A}_{5}^{3}}$×$\frac{1}{{A}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{5}$．
②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束）：
$\frac{{A}_{4}^{3}}{{A}_{5}^{3}}•\frac{{A}_{2}^{1}}{{A}_{2}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，
∴乙只用两次的概率为$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}$=$\frac{3}{5}$．
若乙验三次时，只有一种可能：
先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为$\frac{2}{5}$．
∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：$\frac{3}{5}$×$（1-\frac{1}{5}）$+$\frac{2}{5}×（1-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}）$=$\frac{18}{25}$．
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，
∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．
点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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