Question

12．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥平面BB₁C₁C，且四边形BB₁C₁C是菱形，∠BCC₁=60°．
（1）求证：AC₁⊥B₁C；
（2）若AC⊥AB₁，三棱锥A-BB₁C的体积为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）连结BC₁，推导出AB⊥B₁C，B₁C⊥BC₁，从而B₁C⊥平面ABC₁，由此能求出AC₁⊥B₁C．
（2）由AB⊥平面BB₁C₁C，BC=BB₁，知AC=AB₁，由三棱锥A-BB₁C的体积为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求出菱形BB₁C₁C的边长，由此能求出△ABC的面积．

解答 证明：（1）连结BC₁，
∵AB⊥平面BB₁C₁C，B₁C?平面BB₁C₁C，∴AB⊥B₁C，
∵四边形BB₁C₁C是菱形，∴B₁C⊥BC₁，
∵AB∩BC₁=B，∴B₁C⊥平面ABC₁，
∵AC₁?平面ABC₁，∴AC₁⊥B₁C．
解：（2）由AB⊥平面BB₁C₁C，BC=BB₁，知AC=AB₁，
设菱形BB₁C₁C的边长为a，
∵∠BCC₁=60°，∴${B}_{1}{C}^{2}$=$B{C}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}-2BC•B{B}_{1}•cos120°$=3a²，
∵AC⊥AB₁，∴$A{C}^{2}+A{{B}_{1}}^{2}={B}_{1}{C}^{2}=3{a}^{2}$，∴AC=AB₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
∵AB⊥侧面BB₁C₁C，BC?侧面BB₁C₁C，∴AB⊥BC，
∴在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∵三棱锥A-BB₁C的体积为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴${V}_{A-B{B}_{1}C}=\frac{1}{3}{S}_{△B{B}_{1}C}•AB=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×sin120°$×$\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得a=2，∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}a=\sqrt{2}$，BC=a=2，
∴△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AB=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．