Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

m

=（2a-c，-b），

n

=（cosB，cosC），且

m

⊥

n

．
（1）求B的大小；
（2）若a=3，b=

19

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：平面向量及应用

分析：（1）由

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=（2a-c）cosB-bcosC=0，再利用正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k＞0，利用两角和差的正弦公式、诱导公式、三角形的内角和定理即可得出；
（2）利用余弦定理和三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=（2a-c）cosB-bcosC=0，
由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k＞0，
∴（2sinA-sinC）cosB-sinBcosC=0，
化为2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA，
∴cosB=

1

2

，B∈（0，π）．
∴B=

π

3

．
（2）由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
∴19=9+c²-6ccos

π

3

，
化为c²-3c-10=0，解得c=5．
∴△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

1

2

×3×5×sin

π

3

=

15 3

4

．

点评：本题考查了向量垂直于数量积的关系、正弦余弦定理、两角和差的正弦公式、诱导公式、三角形的内角和定理、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．