题目内容
14．设A（-3，0），B（3，0），若直线y=-$\frac{3\sqrt{5}}{10}$（x-5）上存在一点P满足|PA|-|PB|=4，则点P到z轴的距离为（ ）| A． | $\frac{3\sqrt{5}}{4}$ | B． | $\frac{5\sqrt{5}}{3}$ | C． | $\frac{3\sqrt{5}}{4}$或$\frac{3\sqrt{5}}{2}$ | D． | $\frac{5\sqrt{5}}{3}$或$\sqrt{5}$ |
分析 根据条件得到P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，求出双曲线的方程，联立方程组求出P的坐标即可得到结论．
解答 解：∵A（-3，0），B（3，0），P满足|PA|-|PB|=4＜|AB|，
∴P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，其中c=3，2a=4，
则a=2，b2=9-4=5，
即双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
若直线y=-$\frac{3\sqrt{5}}{10}$（x-5）上存在一点P满足|PA|-|PB|=4，
则有$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3\sqrt{5}}{10}（x-5）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$消去y得16x2+90x-325=0，
即（2x-5）（8x+65）=0，
得x=$\frac{5}{2}$或（x=-$\frac{65}{8}$＜0舍），
此时y=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
即点P到z轴的距离为$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
故选：A
点评 本题主要考查双曲线方程和性质，根据条件确定双曲线的方程，联立方程组求出交点坐标是解决本题的关键．
练习册系列答案
暑假作业暑假快乐练西安出版社系列答案
新活力总动员暑系列答案
相关题目
5．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，且其渐近线方程为y=±$\frac{4}{3}$x，则双曲线C的方程为（ ）
| A． | $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1 | B． | $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1 | C． | $\frac{{x}^{2}}{36}$-$\frac{{y}^{2}}{64}$=1 | D． | $\frac{{x}^{2}}{64}$-$\frac{{y}^{2}}{36}$=1 |
2．已知双曲线的一条渐近线方程为y=4x，且双曲线的焦点与抛物线y2=8x的焦点是重合的，则双曲线的标准方程为（ ）
| A． | $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$ | B． | $\frac{{17{x^2}}}{4}-\frac{{17{y^2}}}{64}=1$ | ||
| C． | $\frac{x^2}{4}-\frac{{4{y^2}}}{5}=1$ | D． | $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$ |
19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（ ）
| A． | $\frac{5}{4}$ | B． | $\frac{6}{5}$ | C． | $\frac{5}{3}$ | D． | $\frac{8}{5}$ |
3．若双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线方程$y=\sqrt{3}x$，则该双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\sqrt{3}$ | B． | 2 | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$ |
4．双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的焦距等于（ ）
| A． | 2 | B． | 4 | C． | 3 | D． | 6 |