题目内容
19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（ ）| A． | $\frac{5}{4}$ | B． | $\frac{6}{5}$ | C． | $\frac{5}{3}$ | D． | $\frac{8}{5}$ |
分析 由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=3|PF2|=2a，再根据点P在双曲线的右支上，|PF2|≥c-a，从而求得此双曲线的离心率e的最大值．
解答 解：∵P在双曲线的右支上，
∴由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，
∵|PF1|=4|PF2|，
∴4|PF2|-|PF2|=2a，即|PF2|=$\frac{2}{3}$a，
根据点P在双曲线的右支上，可得|PF2|=$\frac{2}{3}$a≥c-a，∴$\frac{5}{3}$a≥c，即e≤$\frac{5}{3}$，
此双曲线的离心率e的最大值为$\frac{5}{3}$，
故选：C
点评 本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用双曲线的定义转化为|PF2|≥c-a是解决本题的关键．
练习册系列答案
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| A． | $\sqrt{5}$ | B． | $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | C． | $\sqrt{5}$或$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | D． | 2 |
10．已知抛物线E：x2=8y的焦点F到双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐进线的距离为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，且抛物线E上的动点M到双曲线C的右焦点F1（c，0）的距离与直线y=-2的距离之和的最小值为3，则双曲线C的方程为（ ）
| A． | $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1 | B． | $\frac{{x}^{2}}{4}$-y2=1 | C． | $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1 | D． | $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1 |
7．设点A，F（c，0）分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点、右焦点，直线x=$\frac{a^2}{c}$交该双曲线的一条渐近线于点P，若△PAF是等腰三角形，则此双曲线的离心率为（ ）
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| A． | $\frac{3\sqrt{5}}{4}$ | B． | $\frac{5\sqrt{5}}{3}$ | C． | $\frac{3\sqrt{5}}{4}$或$\frac{3\sqrt{5}}{2}$ | D． | $\frac{5\sqrt{5}}{3}$或$\sqrt{5}$ |
4．已知双曲线的一个焦点F，点P在双曲线的一条渐近线上，点O为双曲线的对称中心，若△OFP为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\sqrt{6}$ | B． | $\sqrt{2}$ | C． | 2 | D． | $\sqrt{3}$ |
11．已知F1，F2是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点F2关于直线y=$\frac{b}{a}$x的对称点M也在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $\sqrt{5}$ | D． | 2 |
8．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（ ）
| A． | $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | B． | $\sqrt{5}$ | C． | $\sqrt{2}$ | D． | 2 |
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