Question

2．若双曲线的渐近线方程为2x±y=0，且过点（1，2$\sqrt{2}$），则双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}-{x}^{2}=1$．

Answer 1

分析 分两种情况使用待定系数法求出．

解答 解：（1）若双曲线焦点在x轴上，设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a}=2}\\{\frac{1}{{a}^{2}}-\frac{8}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，方程组无解．
（2）若双曲线焦点在y轴上，设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{b}=2}\\{\frac{8}{{a}^{2}}-\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1．
∴双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{4}-{x}^{2}=1$．
故答案为$\frac{{y}^{2}}{4}-{x}^{2}=1$．

点评 本题考查了双曲线的方程与性质，常采用待定系数法求方程．