Question

7．已知P是△ABC所在平面内一点，$\overrightarrow{PB}$+2$\overrightarrow{PC}$+3$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{0}$，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆在△PBC内的概率是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 已知向量式变形可得$\overrightarrow{BP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$，由向量加法的平行四边形法则可得P，由三角形的面积公式和几何概型可得．

解答 解：由$\overrightarrow{PB}$+2$\overrightarrow{PC}$+3$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{0}$可得-$\overrightarrow{BP}$+2（$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BP}$）+3（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BP}$）=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{BP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$，取D为AB中点，E为BC三等分点（靠近B），
以BD和BE为临边作平行四边形，可得和B相对的四边形顶点即为P，
设A到BC的距离为d，则P到BC的距离为$\frac{1}{2}$d，
故所求概率P=$\frac{{S}_{△PBC}}{{S}_{ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×BC×\frac{1}{2}d}{\frac{1}{2}×BC×d}$=$\frac{1}{2}$
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 本题考查几何概型，涉及向量的知识和三角形的面积，属基础题．