Question

已知函数f（x）=x³-

1

2

x²+bx+c．
（1）若f（x）在R上单调递增，求b的取值范围；
（2）若f（x）在x=1时取得极值，且x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出f（x）的导数，令导数大于等于0恒成立，令导函数的判别式大于等于0，求出b的范围．
（2）当x∈[-1，2]时，则f（x）＜c²恒成立?f（x）_max＜c²，利用导数求出f（x）_max即可解出．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-x+b，
∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，∴f'（x）≥0恒成立．
∴△=1-12≤0，解得b≥

1

12

∴b 的取值范围为[

1

12

，+∞）．
（2）∵f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，∴3-1+b=0，得b=-2．
∴f′（x）=3x²-x-2．
令f′（x）=0，得x₁=-

2

3

，x₂=1．
列表如下：

x	[-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：当x=-

2

3

时，函数f（x）取得极大值f（-

2

3

）=

22

27

，而区间端点处的f（2）=2+c，
∴函数f（x）的最大值为2+c．
∴2+c＜c²，解得c＞2或c＜-1． 
∴c的取值范围是c＞2或c＜-1．

点评：解决函数的单调性已知求参数的范围问题，一般令导函数大于等于0恒成立或小于等于0恒成立；解决不等式恒成立常分离参数转化为求函数的最值．