Question

6．已知f（x）=3^x-a×3^-x是偶函数．则：
（1）a=-1；
（2）$f（x）＜\frac{10}{3}$的解集为（-1，1）．

Answer 1

分析 （1）根据f（-x）=f（x），求得a的值．
（2）不等式即（3^x-3）•（3^x-$\frac{1}{3}$）＜0，即 $\frac{1}{3}$＜3^x＜3，由此求得x的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=3^x-a×3^-x是偶函数，则f（-x）=f（x），即 3^-x-a•3^x=3^x-a•3^-x，
即（3^-x-3^x）=-a（3^-x-3^x），∴-a=1，即a=-1，f（x）=3^x +3^-x，
故答案为：-1．
（2）$f（x）＜\frac{10}{3}$，即 3^x +3^-x ＜$\frac{10}{3}$，即 3^2x-$\frac{10}{3}$•3^x+1＜0，即（3^x-3）•（3^x-$\frac{1}{3}$）＜0，
∴$\frac{1}{3}$＜3^x＜3，∴-1＜x＜1．
   故答案为：（-1，1）

点评 本题主要考查偶函数的定义和性质，解指数不等式，属于中档题．