Question

14．已知关于x、y的二元一次不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤4}\\{x-y≤1}\\{x+2≥0}\\{\;}\end{array}\right.$
（1）求函数u=3x-y的最大值和最小值；
（2）求函数d=（x-2）²+（y+2）²的最小值．

Answer 1

分析 （1）由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得函数u=3x-y的最大值和最小值；
（2）由d=（x-2）²+（y+2）²的几何意义，即动点（x，y）与定点（2，-2）之间的距离的平方，进一步转化为点到直线的距离的平方求解．

解答 解：（1）作出二元一次不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤4}\\{x-y≤1}\\{x+2≥0}\\{\;}\end{array}\right.$表示的平面区域，如图所示．
由u=3x-y，得y=3x-u，得到斜率为3，在y轴上的截距为-u，随u变化的一组平行线，
由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距-u最大，即u最小，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=4}\\{x+2=0}\end{array}\right.$，得C（-2，3），
∴u_min=3×（-2）-3=-9．
当直线经过可行域上的B点时，截距-u最小，即u最大，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=4}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，得B（2，1），
∴u_max=3×2-1=5．
∴u=3x-y的最大值是5，最小值是-9；
（2）d表示动点（x，y）与定点（2，-2）之间的距离的平方，最小值为点（2，-2）到边界x-y=1的距离的平方．
故${d_{min}}={（\frac{2-（-2）-1}{{\sqrt{2}}}）^2}=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．