题目内容

14．已知数列{an}、{bn}满足b1=an，bk-1bk=ak-1ak≠0，其中k=2，3，…，n，则称{bn}为{an}的“生成数列”．
（1）若数列a1，a2，a3，a4，a5的“生成数列”是1，2，3，4，5，求a1；
（2）若n为偶数，且{an}的“生成数列”是{bn}，证明：{bn}的“生成数列”是{an}；
（3）若n为奇数，且{an}的“生成数列”是{bn}，{bn}的“生成数列”是{cn}，…，依次将数列{an}，{bn}，{cn}，…的第i（i=1，2，…，n）项取出，构成数列Ωi：ai，bi，ci，…，．
探究：数列Ωi是否为等比数列，并说明理由．

分析 （1）通过b1=a5=1、a4a5=4×5可知a4=20，同理计算即可；
（2）通过将bk-1bk=ak-1ak（k=2，3，…，n+1）共n-1（n为偶数）个等式中第1，3，5，…，n-1行这$\frac{n}{2}$个式子两边取倒数、结合b1=an再将这n个式子相乘、整理得bn=a1，进而计算可得结论；
（3）通过原数列与生成数列之间的关系，只需证明Ω1成等比数列即可．通过将bk-1bk=ak-1ak（k=2，3，…，n+1）共n-1（n为奇数）个等式中第1，3，5，…，n-2行这$\frac{n-1}{2}$个式子两边取倒数、结合b1=an再将这n个式子相乘、整理得$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$，进而c1=$\frac{{{b}_{1}}^{2}}{{a}_{1}}$，即得结论．

解答 （1）解：∵b1=a5=1，a4a5=4×5，
∴a4=20，
同理，${a_3}=\frac{3}{5}，{a_2}=10，{a_1}=\frac{1}{5}$；
（2）证明：由“生成数列”的定义可知：
b1b2=a1a2，
b2b3=a2a3，
…
bn-1bn=an-1an，
将上述n（n为偶数）个等式中第1，3，5，…，n-1行这$\frac{n}{2}$个式子两边取倒数，
结合b1=an，再将这n个式子相乘得：
${b_1}•\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}•{b_2}{b_3}•\frac{1}{{{b_3}{b_4}}}•{b_4}{b_5}…\frac{1}{{{b_{n-1}}{b_n}}}={a_n}•\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}•{a_2}{a_3}•\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}•{a_4}{a_5}…\frac{1}{{{a_{n-1}}{a_n}}}$，
整理得bn=a1，
∵a1=bn，ak-1ak=bk-1bk（k=2，3，…，n），
∴根据“生成数列”的定义可得：数列{an}是数列{bn}的“生成数列”；
（3）结论：数列Ωi是等比数列．
理由如下：
∵${b_i}=\frac{{{a_{i-1}}{a_i}}}{{{b_{i-1}}}}（i=2，3，…，n）$，
∴$\frac{b_i}{a_i}=\frac{1}{{\frac{{{a_{i-1}}}}{{{b_{i-1}}}}}}（i=2，3，…，n）$．
∴欲证Ωi成等比数列，只需证明Ω1成等比数列即可．
对于数列{an}及其“生成数列”{bn}，有：
b1b2=a1a2，
b2b3=a2a3，
…
bn-1bn=an-1an，
将上述n（n为奇数）个等式中第1，3，5，…，n-2行这$\frac{n-1}{2}$个式子两边取倒数，
结合b1=an，再将这n个式子相乘得：
${b_1}•\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}•{b_2}{b_3}•\frac{1}{{{b_3}{b_4}}}•{b_4}{b_5}…\frac{1}{{{b_{n-2}}{b_{n-1}}}}•{b_{n-1}}{b_n}={a_n}•\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}•{a_2}{a_3}•\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}•{a_4}{a_5}…\frac{1}{{{a_{n-2}}{a_{n-1}}}}•{a_{n-1}}{a_n}$，
∴bn=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{1}}$，∴$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$，
∵数列{bn}的“生成数列”为{cn}，
∴c1=bn=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{{{b}_{1}}^{2}}{{a}_{1}}$，
∴a1，b1，c1成等比数列，
∴数列Ωi是等比数列．

点评 本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，注意解题方法的积累，属于中档题．

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