Question

4．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边长，且（2c-b）cosA=acosB．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知等式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数．
（2）利用正弦定理，结合辅助角公式，表示出面积，即可求△ABC面积S的最大值．

解答 解：（1）利用正弦定理可得（2sinC-sinB）cosA=sinAcosB，
则2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，
所以$cosA=\frac{1}{2}$，故$A=\frac{π}{3}$----（5分）
（2）由$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$得$b=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sinB，c=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sinC$，
所以$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sinBsinC=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sinBsin（\frac{2π}{3}-B）$
=$2sinBcosB+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{sin^2}B=\frac{2}{{\sqrt{3}}}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2B-\frac{1}{2}cos2B）+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sin（2B-\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∵$0＜B＜\frac{2π}{3}，-\frac{π}{6}＜2B-\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}＜sin（2B-\frac{π}{6}）≤1，0＜\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sin（2B-\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤\frac{{3\sqrt{3}}}{3}$，
∴△ABC面积S的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{3}$--12分

点评 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．