Question

已知点P（2，2），圆C：x²+y²-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（Ⅰ）求M的轨迹方程；
（Ⅱ）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,轨迹方程

专题：直线与圆

分析：（I）圆C的方程可化为x²+（y-4）²=16，由此能求出圆心为C（0，4），半径为4，设M（x，y），则

CM

=(x，y-4)，

MP

=(2-x，2-y)，由题设知

CM

•

MP

=0，由此能求出M的轨迹方程．
（II）由（Ⅰ）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，

2

为半径的圆．由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，由此利用点到直线距离公式结合已知条件能求出△POM的面积．

解答： 解：（I）圆C的方程可化为x²+（y-4）²=16，
所以圆心为C（0，4），半径为4，
设M（x，y），则

CM

=(x，y-4)，

MP

=(2-x，2-y)，
由题设知

CM

•

MP

=0，
故x（2-x）+（y-4）（2-y）=0，
即（x-1）²+（y-3）²=2．
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是（x-1）²+（y-3）²=2．…（6分）
（II）由（1）可知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，

2

为半径的圆．
由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，从而ON⊥PM．
因为ON的斜率为3，
所以l的斜率为-

1

3

，
故l的方程为y=-

1

3

x+

8

3

．
又|OP|=|OM|=2

2

，O到l的距离为

4 10

5

，|PM|=

4 10

5

，
所以△POM的面积为

16

5

．…（12分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．