题目内容
给出下列命题：
①已知函数f（x）=
在点x=1处连续，则a=4；
②若不等式|x+
|＞|a-2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是1＜a＜3；
③不等式（x-2）|x2-2x-8|≥0的解集是{x|x≥2}
④如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1为锐角三角形，△A2B2C2为钝角三角形．其中真命题的序号是 （将所有真命题的序号都填上）
①已知函数f（x）=
|
②若不等式|x+
| 1 |
| x |
③不等式（x-2）|x2-2x-8|≥0的解集是{x|x≥2}
④如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1为锐角三角形，△A2B2C2为钝角三角形．其中真命题的序号是
考点：命题的真假判断与应用
专题：简易逻辑
分析：根据函数f（x）=
在点x=1处连续，求出a值，可判断①；根据原不等式恒成立，|a-2|+1＜2，求出a的范围，可判断②；解不等式（x-2）|x2-2x-8|≥0，可判断③；根据已知结合三角函数的符号，利用反证法，可判断④．
|
解答：
解：若函数f（x）=
在点x=1处连续，则
=4=a+1，则a=3，故①错误；
不等式|x+
|＞|a-2|+1对于一切非零实数x均成立，则|a-2|+1＜2，解得1＜a＜3，故②正确；
（x-2）|x2-2x-8|≥0的解集是{x|x≥2或x=-2}，故③错误；
△A2B2C2的三个内角的正弦值均大于0，
所以△A1B1C1的三个内角的余弦值也均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形．
若△A2B2C2是锐角三角形，由
，
得
，
那么，A2+B2+C2=
，这与三角形内角和是π相矛盾；
若△A2B2C2是直角三角形，不妨设A2=
，
则sinA2=1=cosA1，所以A1在（0，π）范围内无值．
所以△A2B2C2是钝角三角形，故④正确；
故答案为：②④
|
| lim |
| x→1 |
| x3+2x-3 |
| x-1 |
不等式|x+
| 1 |
| x |
（x-2）|x2-2x-8|≥0的解集是{x|x≥2或x=-2}，故③错误；
△A2B2C2的三个内角的正弦值均大于0，
所以△A1B1C1的三个内角的余弦值也均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形．
若△A2B2C2是锐角三角形，由
|
得
|
那么，A2+B2+C2=
| π |
| 2 |
若△A2B2C2是直角三角形，不妨设A2=
| π |
| 2 |
则sinA2=1=cosA1，所以A1在（0，π）范围内无值．
所以△A2B2C2是钝角三角形，故④正确；
故答案为：②④
点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的连续性，解不等式，解三角形，恒成立问题，难度中档．
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