Question

已知{a_n}是公差不等于0的等差数列，a₁=2且a₂，a₄，a₅成等比数列，若b_n=

1

n(an+2)

，则数列{b_n}的前n项饿的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：设等差数列{a_n}是公差为d且d不为0，由题意和等比中项的性质列出方程求出d的值，代入等差数列的通项公式求出a_n，再代入b_n=

1

n(an+2)

化简后进行裂项，由裂项相消法求出数列{b_n}的前n项和，化简后由式子个特点和n的取值范围求出它的范围．

解答： 解：设等差数列{a_n}是公差为d，且d不为0，
由a₁=2且a₂，a₄，a₈成等比数列得，（2+4d）²=（2+d）（2+7d），
解得d=2或d=0（舍去），
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n，
则b_n=

1

n(an+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
所以数列{b_n}的前n项和S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

2

[1-

1

n+1

]＜

1

2

，
又n≥1，所以S_n≥

1

4

，
所以数列{b_n}的前n项和S_n的取值范围是[

1

4

，

1

2

），
故答案为：[

1

4

，

1

2

）．

点评：本题考查了等比中项的性质，等差数列的通项公式，数列的求和方法：裂项相消法的应用，以及数列的函数特性．