Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

，x∈R．
（Ⅰ）求函数y=f（-3x）+1的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f（

A

2

-

π

6

）=

3

，且a=7，sinB+sinC=

13 3

14

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（2x+

π

3

），于是可得函数y=f（-3x）+1的解析式，利用正弦函数的周期性与单调性即可求得其最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）依题意，可求得A=

π

3

，利用正弦定理可求得b+c=13，再用余弦定理可求得bc=40，从而可得△ABC的面积．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵f(x)=2sinxcosx+

3

(2cos2x-1)=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)…（2分）
∴y=f(-3x)+1=2sin(-6x+

π

3

)+1=-2sin(6x-

π

3

)+1，
∴y=f（-3x）+1的最小正周期为T=

2π

6

=

π

3

…（3分）
由2kπ-

π

2

≤6x-

π

3

≤2kπ+

π

2

得：

1

3

kπ-

π

36

≤x≤

1

3

kπ+

5π

36

，k∈Z，
∴y=f（-3x）+1的单调递减区间是[

1

3

kπ-

π

36

，

1

3

kπ+

5π

36

]，k∈Z…（6分）
（Ⅱ）∵f(

A

2

-

π

6

)=

3

，∴2sin(A-

π

3

+

π

3

)=

3

，∴sinA=

3

2

…（7分）
∵0＜A＜

π

2

，∴A=

π

3

．
由正弦定理得：sinB+sinC=

b+c

a

sinA，
即

13 3

14

=

b+c

7

×

3

2

，∴b+c=13…（9分）
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：a²=（b+c）²-2bc-2bccosA，
即49=169-3bc，∴bc=40…1（1分）
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×40×

3

2

=10

3

…（12分）

点评：本题考查三角恒等变换的应用，着重考查正弦函数的周期性与单调性，突出考查正弦定理与余弦定理的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．