题目内容
20．市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了500名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如表所示：| 月收入（单位：百元） | [10，20） | [20，30） | [30，40） | [40，50） | [50，60） | [60，70） |
| 频数 | 25 | 100 | 150 | 155 | 50 | 20 |
| 赞成人数 | 10 | 70 | 120 | 150 | 35 | 15 |
（2）根据用样本估计总体的思想，以样本中事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在本市随机采访3人，用X表示3人中对该项措施持赞成态度的人数，求X的分布列和数学期望．
分析 （1）从20人中任意选取3人，共有${C}_{20}^{3}$中取法，分别求出恰有2人持赞成态度的概率和恰有3人持赞成态度的概率，由此利用互斥事件概率计算公式能求出3人中至少2人对对该措施持赞成态度的概率．
（2）估计市民对该项政策持赞成态度的概率为p=$\frac{4}{5}$，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{4}{5}$），由此能求出X的分布列和数学期望．
解答 解：（1）从20人中任意选取3人，共有${C}_{20}^{3}$中取法，且这${C}_{20}^{3}$种取法的可能性相同，
恰有2人持赞成态度的概率p1=$\frac{{C}_{15}^{2}{C}_{5}^{1}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{35}{76}$，
恰有3人持赞成态度的概率P2=$\frac{{C}_{15}^{3}{C}_{5}^{0}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{91}{228}$，
∴3人中至少2人对对该措施持赞成态度的概率p=p1+p2=$\frac{35}{76}+\frac{91}{228}$=$\frac{49}{57}$．
（2）∵500人中持赞成的频率p3=$\frac{10+70+120+150+35+15}{500}$=$\frac{4}{5}$，
∴可估计市民对该项政策持赞成态度的概率为p=$\frac{4}{5}$，
X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{4}{5}$），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{4}{5}）^{0}（\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{1}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{4}{5}）（\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{12}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{4}{5}）^{2}（\frac{1}{5}）$=$\frac{48}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{4}{5}）^{3}（\frac{1}{5}）^{0}$=$\frac{64}{125}$，
∴X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{1}{125}$ | $\frac{12}{125}$ | $\frac{48}{125}$ | $\frac{64}{125}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
第1卷单元月考期中期末系列答案| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
| A． | 1 | B． | $\sqrt{2}$ | C． | 2 | D． | 4 |
| 愿意被外派 | 不愿意被外派 | 合计 | |
| 70后 | 20 | 20 | 40 |
| 80后 | 40 | 20 | 60 |
| 合计 | 60 | 40 | 100 |
（Ⅱ）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的70后、80后员工参加.70后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为x；80后员工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为y，求x＜y的概率．
参考数据：
| P（K2＞k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |