Question

19．设f（x）=|2x|+|x+a|
（I）当a=-1时，求不等式f（x）≤4的解集；
（II）当f（x）=|x-a|时，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （I）当a=-1时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-3x（{x≤0}）\\ x+1（{0＜x≤1}）\\ 3x-1（{x＞1}）\end{array}\right.$，即可求不等式f（x）≤4的解集；
（II）当f（x）=|x-a|时，可得2x（x+a）≤0，分类讨论，求x的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-3x（{x≤0}）\\ x+1（{0＜x≤1}）\\ 3x-1（{x＞1}）\end{array}\right.$，
当x≤0时，由f（x）≤4得-1≤x≤0；
当0＜x≤1时，由f（x）≤4得0＜x≤1；
当x＞1时，由f（x）≤4得$1＜x≤\frac{5}{3}$；
综上所述，当a=-1时，不等式f（x）≤4的解集为$[{-1，\frac{5}{3}}]$；             …（5分）
（Ⅱ）∵f（x）=|2x|+|x+a|≥|2x-（x+a）|=|x-a|，∴2x（x+a）≤0，
当a=0时，x=0；
当a＞0时，-a≤x≤0；
当a＜0时，0≤x≤-a．…（10分）

点评 本题考查不等式的解法，考查绝对值不等式的性质，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．