Question

已知A、B为抛物线C：y²=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，l₁、l₂分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l₁、l₂的交点．
（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；
（Ⅱ）设C、D为直线l₁、l₂与直线x=4的交点，求△PCD面积的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用直线l₁、l₂与抛物线C相切，求出l₁、l₂方程，可得点P坐标，再求出AB的方程，即可得出结论；
（Ⅱ）求出C，D的坐标，可得|CD|，表示出△PCD面积，利用导数法可求最小值．

解答： （Ⅰ）证明：设A(

y 2 1

4

 ， y1)，B(

y 2 2

4

 ， y2)（y₁＞0＞y₂）．
易知l₁斜率存在，设为k₁，则l₁方程为y-y1=k1(x-

y 2 1

4

)．
由

y-y1=k1(x- y 2 1 4 )  y2=4x

得，k1y2-4y+4y1-k1

y

2 1

=0…①
由直线l₁与抛物线C相切，知△=16-4k1(4y1-k1

y

2 1

)=0．
于是，k1=

2

y1

，l₁方程为y=

2

y1

x+

1

2

y1．
同理，l₂方程为y=

2

y2

x+

1

2

y2．
联立l₁、l₂方程可得点P坐标为P(

y1y2

4

 ， 

y1+y2

2

)，
∵kAB=

y1-y2

y 2 1 4 - y 2 2 4

=

4

y1+y2

，AB方程为y-y1=

4

y1+y2

(x-

y 2 1

4

)，AB过抛物线C的焦点F（1，0）．
∴-y₁=

4

y1+y2

（1-

y12

4

），
∴y₁y₂=-4，
∴动点P在一条定直线x=-1上；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，C，D的坐标分别为（4，

8

y1

+

1

2

y1），D（4，

8

y2

+

1

2

y2），
∴| CD |=|  (

8

y1

+

1

2

y1)-(

8

y2

+

1

2

y2) |=| 

(y1y2-16)(y1-y2)

2y1y2

 |．
∴S△PCD=

1

2

| 4-

y1y2

4

 |•| 

(y1y2-16)(y1-y2)

2y1y2

 |．
设y1y2=-t2（t＞0），|y₁-y₂|=m，
由(y1+y2)2=(y1-y2)2+4y1y2=m2-4t2≥0知，m≥2t，当且仅当y₁+y₂=0时等号成立．
∴S△PCD=

1

2

| 4+

t2

4

 |•| 

(-t2-16)m

-2t2

 |=

m•(t2+16)2

16t2

≥

2t•(t2+16)2

16t2

=

(t2+16)2

8t

．
设f(t)=

(t2+16)2

8t

，则f′(t)=

2(t2+16)•2t•t-(t2+16)2

8t2

=

(3t2-16)(t2+16)

8t2

．
∴0＜t＜

4 3

3

时，f'（t）＜0；t＞

4 3

3

时，f'（t）＞0．f（t）在区间(0 ， 

4 3

3

]上为减函数；
在区间[

4 3

3

 ， +∞)上为增函数．
∴t=

4 3

3

时，f（t）取最小值

128 3

9

．
∴当y₁+y₂=0，y1y2=-

16

3

，
即y1=

4

3

，y2=-

4

3

时，△PCD面积取最小值

128 3

9

．…（13分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．