Question

6．设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（k）＞k²成立时，总可推出f（k+1）＞（k+1）²成立”．那么，下列命题总成立的是（　　）

• A． 若f（1）≤1成立，则f（9）≤81成立
• B． 若f（2）≤4成立，则f（1）＞1成立
• C． 若f（3）＞9成立，则当k≥1时，均有f（k）＞k²成立
• D． 若f（3）＞16成立，则当k≥3时，均有f（k）＞k²成立

Answer 1

分析 根据题意，“当f（k）≥k²成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）²成立”是一种递推关系，说明若命题对前一个正整数成立，则后一个正整数一定成立．反之，若后一个数成立，但前一个数不一定成立，由此逐一判断四个选项得答案．

解答 解：对于A，∵原命题成立，否命题不一定成立，
∴f（1）≤1成立不能推出f（2）≤4，更不能推出k=3、4、…的情况，则不一定有f（9）≤81成立，故A不正确；
对于B，∵原命题成立，则逆否命题一定成立，
∴由f（2）≤4成立，得f（1）≤1成立，不一定有f（1）＞1成立，故B不正确；
对于C，若f（3）＞9成立，则根据题意可得“当k≥3时，均有f（k）＞k²成立”，而不能得到k=1、2的情况，故C不正确；
对于D，若f（3）＞16成立，则f（3）＞9成立，可推出f（4）＞4²成立，接着可出f（5）＞5²成立，…，
依此类推可得：当k≥3时，均有f（k）＞k²成立，故D正确．
故悬案：D．

点评 本题以函数满足正整数集上的某种递推关系为载体，着重考查了四种命题及其关系和简单的合情推理的知识，是中档题．