Question

11．（Ⅰ）已知函数f（x）=|2x-3|-2|x|，若关于x不等式f（x）≤|a+2|+2a恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）已知正数x，y，z，满足2x+y+z=1，求$\frac{1}{x+2y+z}$+$\frac{3}{z+3x}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）=|2x-3|-2|x|的最大值，然后求解3≤|a+2|+2a，求出实数a的取值范围；
（Ⅱ）利用柯西不等式求解表达式的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x）=|2x-3|-|2x|≤|（2x-3）-2x|=3，（2分）
若关于x不等式f（x）≤|a+2|+2a恒成立，则3≤|a+2|+2a
得：$a≥\frac{1}{3}$．              （5分）
（Ⅱ）由柯西不等式得：$\frac{1}{x+2y+z}$+$\frac{3}{z+3x}$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{x+2y+z}+\frac{3}{z+3x}）（（x+2y+z）+（z+3x））$
$≥\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}+1）^{2}$=2+$\sqrt{3}$．
当且仅当$\frac{1}{x+2y+z}=\frac{\sqrt{3}}{z+3x}$时取最小值2+$\sqrt{3}$．（10分）

点评 本题考查函数的最小值的求法，绝对值不等式的解法，考查计算能力．