Question

已知点A，B的坐标分别是（0，-1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且直线AM，BM的斜率之积为-

1

2

（1）求点M的轨迹C的方程
（2）过D（2，0）的直线l与轨迹C有两个不同的交点时，求l的斜率的取值范围；
（3）若过D（2，0）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的E、F（E在D、F之间），求△ODE与△ODF的面积之比的取值范围（O为坐标原点）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设M（x，y），由已知得k_AM•k_BM=-

y+1

x

•

y-1

x

=-

1

2

，由此能求出动点M的轨迹方程．
（2）由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为y=k（x-2），联立

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²-8k²x+（8k²-2）=0，由此利用根的判别式能求出l的斜率的取值范围．
（3）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），令λ=

S△ODE

S△ODF

，则x₁-2=λ（x₂-2），且0＜λ＜1．由此利用韦达定理结合已知条件能求出△OBE与△OBF面积之比的取值范围．

解答： 解：（1）设M（x，y），∵点A，B的坐标分别是（0，-1），（0，1），直线AM，BM的斜率之积为-

1

2

∴k_AM•k_BM=-

y+1

x

•

y-1

x

=-

1

2

，
整理得动点M的轨迹方程为

x2

2

+y2=1（x≠0）．
（2）由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为y=k（x-2），①
联立

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²-8k²x+（8k²-2）=0，
∵过D（2，0）的直线l与轨迹C有两个不同的交点，
∴△=（-8k²）²-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，解得0＜k²＜

1

2

．
∴-

2

2

＜k＜0或0＜k＜

2

2

，
∴l的斜率的取值范围是（-

2

2

，0）∪（0，

2

2

）．
（3）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则

x1+x2= 8k2 2k2+1 x1x2= 8k2-2 2k2+1

，…②
令λ=

S△ODE

S△ODF

，则λ=

|DE|

|DF|

，即|DE|=λ|DF|，
∴x₁-2=λ（x₂-2），且0＜λ＜1．
由②得

(x1-2)+(x2-2)= -4 2k2+1 (x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4= 2 2k2+1

，
∴

λ

(1+λ)2

=

2k2+1

8

，即k²=

4λ

2k2+1

-

1

2

，
∵0＜k²＜

1

2

，且k²≠

1

4

，∴0＜

4λ

(1+λ)2

-

1

2

＜

1

2

，且

4λ

(1+λ)2

-

1

2

≠

1

4

．
解得3-2

2

＜λ＜3+2

2

，且λ≠

1

3

，
∵0＜λ＜1，∴3-2

2

＜λ＜1且λ≠

1

3

．
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（3-2

2

，

1

3

）∪（

1

3

，1）．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，考查△ODE与△ODF的面积之比的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．