Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=18，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n+

1

2

b_n=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n•b_n，若c_n+m≤0对任意的n∈N₊恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）设a_n的公差为d，根据等差数列通项公式根据a₂=6，a₅=18可求得a₁和d，进而可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）先证明数列{b_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，求得数列{b_n}的通项公式，进而可得{c_n}的通项公式，求出n=1时，c_n取到最大值

4

3

，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）设a_n的公差为d，则：a₂=a₁+d，a₅=a₁+4d，
∵a₂=6，a₅=18，
∴a₁+d=6，a₁+4d=18，∴a₁=2，d=4．
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．
（2）当n=1时，b₁=S₁，由S₁+

1

2

b₁=1，可得b₁=

2

3

当n≥2时，∵S_n+

1

2

b_n=1，S_n-1+

1

2

b_n-1=1，
∴两式相减，整理可得b_n=

1

3

b_n-1，
∴数列{b_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，
∴b_n=

2

3n

，
∴c_n=a_n•b_n=

4(2n-1)

3n

，
∴c_n+1-c_n=

16(1-n)

3n+1

，
∴n≥1，
∴c_n+1≤c_n，
∴n=1时，c_n取到最大值

4

3

，
∵c_n+m≤0对任意的n∈N₊恒成立，
∴

4

3

+m≤0，
∴m≤-

4

3

．

点评：本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题．