Question

定义在[-1，1]上的奇函数f（x），对任意m、n∈[-1，1]，且m+n≠0时，恒有

f(m)+f(n)

m+n

＞0；
（1）比较f（

1

2

）与f（

1

3

）大小；
（2）判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性，并用定义证明；
（3）若a-8x+1＞0对满足不等式f（x-

1

2

）+f（

1

4

-2x）＜0对任意x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用作差法，即可比较f（

1

2

）与f（

1

3

）大小；
（2）利用单调性定义证明步骤可得结论；
（3）先确定x的范围，再分离参数求最值，即可求a的取值范围．

解答： 解：（1）∵

1

2

+(-

1

3

)≠0，∴

f( 1 2 )+f(- 1 3 )

1 2 +(- 1 3 )

＞0，
∴f(

1

2

)+f(-

1

3

)＞0⇒f(

1

2

)＞-f(-

1

3

)，
∵f(-

1

3

)=-f(

1

3

)，∴f(

1

2

)＞f(

1

3

)．…（3分）
（2）函数f（x）在[-1，1]上为增函数；…（4分）
证明如下：任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则f(x2)-f(x1)=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

(x2-x1)=

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

(x2-x1)=A，…（6分）
∵x2+(-x1)≠0，且x2、(-x1)∈[-1，1]，  ∴

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

＞0，又∵x2-x1＞0，
∴A＞0，∴函数f（x）在[-1，1]上为增函数．…（8分）
（3）∵不等式f（x-

1

2

）+f（

1

4

-2x）＜0的任意x恒成立，
∴-1≤x-

1

2

＜2x-

1

4

≤1，
∴

5

8

≥x＞-

1

4

∴a-8x+1＞0对满足不等式f(x-

1

2

)+f(

1

4

-2x)＜0的任意x恒成立?a＞8x-1对-

1

4

＜x≤

5

8

恒成立?a＞(8x-1)max=4?a＞4，…（13分）
∴a的取值范围为（4，+∞）．…（14分）

点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查函数单调性的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．