Question

8．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）-1．
（1）求f（1）的值；
（2）当x＞1，都有f（x）≥1成立，证明f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（3）在（2）的条件下，解不等式f（x）＜f（$\frac{1}{x}$）．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，代入f（x•y）=f（x）+f（y）-1，即可得到f（1）的方程，解之即可求得f（1）．
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，利用定义法证明f（x₁）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂）-1＞f（x₂），进而由定义得出函数的单调性．
（3）由（2）（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，原不等式可转化为0＜x＜$\frac{1}{x}$，解关于x的不等式，可求．

解答 （1）解；（1）∵对任意x，y∈（0，+∞），都有f（x•y）=f（x）+f（y）-1．
令x=y=1可得f（1）=2f（1）-1．
∴f（1）=1．
（2）证明：设x₁＞x₂＞0，则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，
∵当x＞1时f（x）≥1．
∴f（x₁）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂）-1＞f（x₂）．
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（3）解：∵f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，f（x）＜f（$\frac{1}{x}$），
∴0＜x＜$\frac{1}{x}$，
∴0＜x＜1，即不等式的解集为{x|0＜x＜1}．

点评 本题考点是抽象函数及其应用，考查灵活赋值求值的能力以及灵活变形证明函数单调性的能力．