Question

16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a²+c²=b²+ac，且a：c=（$\sqrt{3}$+1）：2，求角C的值是$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由题意设a=（$\sqrt{3}$+1）k、c=2k（k＞0），代入a²+c²=b²+ac化简求出b，由余弦定理化简后求出cosC，由C的范围和特殊角的三角函数值求出角C．

解答 解：∵a：c=（$\sqrt{3}$+1）：2，∴设a=（$\sqrt{3}$+1）k、c=2k（k＞0），
代入a²+c²=b²+ac得，[（$\sqrt{3}$+1）k]²+（2k）²=b²+[（$\sqrt{3}$+1）k]（2k），
化简得，b²=6k²，则b=$\sqrt{6}$k，
由余弦定理得，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{[（\sqrt{3}+1）k]}^{2}+{6k}^{2}-{4k}^{2}}{2（\sqrt{3}+1）k•\sqrt{6}k}$
=$\frac{（6+2\sqrt{3}）{k}^{2}}{2\sqrt{6}（\sqrt{3}+1）{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{4}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了余弦定理的应用，以及化简、变形能力，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．